Rozwiazanie

Ponumerujmy monety od 1 do 12.

1. Ważymy [1,2,3,4,5,6] i [7,8,9,10,11,12]

   Zapali się jedna dioda, nazwijmy ją A. Dioda A nie może oznaczać "=", ponieważ wśród ważonych monet znajduje się podróbka.

   Zdobyta informacja:

   • A oznacza "<" lub ">"

2. Ważymy [1, 2] i [11, 12]

   Jeżeli zapali się dioda A, to podrobiona moneta znajduje się wśród ważonych, ponieważ dioda A nie oznacza "=". Zdobyta informacja:

   • Podrobiona moneta jest wśród [1, 2, 11, 12].

   Jeśli zaświeci się inna dioda, nazwijmy ją B, to B musi oznaczać "=". Dlaczego? Bo monety, które brały udział w obu ważeniach, w obu ważeniach były na tej samej szalce co przy pierwszym ważeniu. Na przykład: Moneta 2 była na lewej szalce w obu ważeniach. Jeśli moneta 2 była lżejsza niż pozostałe, to przy pierwszym ważeniu zaświeciła się dioda "<". Przy drugim ważeniu też musiała zaświecić się dioda "<", ponieważ lżejsza moneta dalej jest na lewej szalce. Zdobyte informacje:

   • Dioda B oznacza "="
   • Podrobiona moneta jest wśród [3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]

   Dalej rozważamy oba przypadki

   1. Gdy zaświeciła się dioda A, ważymy [1] i [11]

      Jeśli zaświeciła się dioda A, to:

      • podrobiona moneta jest wśród [1, 11]

      W przeciwnym wypadku musiała zaświecić się dioda B oznaczająca równość (rozumowanie j/w), i wtedy;

      • podrobiona moneta jest wśród [2, 12]

      Zostało ostatnie ważenie:

      1. Jeśli zaświeciła się dioda A, ważymy [1] i [2]

         Jeśli dalej świeci się dioda A, to 1 jest podrobioną monetą, w przeciwym wypadku 11

      2. Jeśli zaświeciła się dioda B, też ważymy [1] i [2]

         Jeśli dalej świeci się dioda B, to 12 jest podrobioną monetą, w przeciwnym wypadku 2

   2. Gdy zaświeciła się dioda B (oznaczająca "="), ważymy [3, 4, 7] i [5, 6, 8]

      Do tej pory wiemy, że dioda A oznacza "<" lub ">", a dioda B oznacza "=". Kluczowe w tym ważeniu jest to, że monety 5, 6 i 7 są na innych szalkach niż przy pierwszym ważeniu, więc jeśli któraś z nich jest podrobiona, to powinna się zaświecić dioda oznaczająca nierówność w drugą stronę niż A.

      Jeśli zaświeci się dioda B oznaczająca "=", to zdobywamy informację:

      • podrobiona moneta jest wśród [9, 10]

      Jeśli zaświeci się dioda A, to znaczy, że podrobiona moneta znajduje się na tej samej szalce co w poprzednich ważeniach. Zdobywamy informację:

      • podrobiona moneta znajduje się wśród [3, 4, 8],

      Jeśli zaświeci się dioda C, to ona musi oznaczać "<" lub ">", ale nie to samo co A. Podrobiona moneta musi się znajdować na innej szalce niż w poprzednich ważeniach. Zdobywamy informację:

      • podrobiona moneta znajduje się wśród [5, 6, 7]

      Zostało ostatnie ważenie:

      1. Gdy zaświeciła się dioda B, to ważymy [1] i [9]

         Jeśli zaświeci się dioda B oznaczająca "=", to 10 jest podrobioną monetą, w przeciwnym wypadku 9.

      2. Gdy zaświeciła się dioda A, to ważymy [2] i [3]

         Moneta 2 jest na tej samej szalce co w poprzednich ważeniach, a moneta 3 jest na innej szalce niż była

         • Jeśli zaświeci się dioda B, to podrobioną monetą jest 8
         • Jeśli zaświeci się dioda A, to podrobioną monetą jest 2
         • Jeśli zaświeci się dioda C, to podrobioną monetą jest 3

      3. Gdy zaświeciła się dioda C, to ważymy [5] i [6]

         Moneta 5 jest na tej samej szalce co przy pierwszym ważeniu, a moneta 6 na innej niż była przy pierwszym ważeniu

         • Jeśli zaświeci się dioda B, to podrobioną monetą jest 7
         • Jeśli zaświeci się dioda A, to podrobioną monetą jest 5
         • Jeśli zaświeci się dioda C, to podrobioną monetą jest 6

---

źródło

powrót